Квадратичные формы Исполнитель

Квадратичные формы

О задачах параграфа. Основные вопросы, обсуждаемые в этом параграфе:

1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований.

2. Приведение квадратичной формы к нормальному виду.

3. На  примерах проиллюстрировать закон инерции квадратичной формы.

4. Исследование знакоопределенности квадратичной формы  с помощью критерий Сильвестра и  с помощью знаков собственных значений матрицы квадратичной формы.

Отметим, что при рассмотрении первых двух вопросов основное внимание надо обращать на следующее обстоятельство:

Любая квадратичная форма может быть приведена с помощью линейного преобразования переменных к каноническому и даже к нормальному виду. С геометрической точки зрения это преобразование можно рассматривать как переход к новому базису в линейном пространстве. Но в евклидовом пространстве обычно рассматриваются лишь ортонормированные базисы, поэтому в евклидовом пространстве ис­пользуют линейные преобразования переменных только с орто­гональными матрицами.

Линейное преобразование переменных с ортогональной матри­цей называется ортогональным.

Надо показать, что квадратичную форму можно приве­сти к каноническому виду, ограничиваясь только ортогональными преобразованиями переменных. Однако приведение квадратичной формы к нормальному виду с помощью ортогонального пре­образования уже не всегда выполнимо.

В задачах 1 – 2 запишите матрицу квадратичной формы.

.

.

3. Покажите, что квадратичная форма

может быть приведена к каноническому виду с помощью следующего преобразования:

В задачах 4 – 6  запишите квадратичные формы с матрицей .

В задачах 7 –  9 найдите канонический вид квадратичной формы.

.

.  

.

В задачах   10 – 11 найдите нормальный вид квадратичной формы.

.

 .

В задачах 12 – 16  методом Лагранжа приведите квадратичную форму к каноническому виду, запишите преобразование переменных.

.

.  

.

.

В задачах 17 – 24 приведите квадратичную форму к нормальному виду и найдите формулы соответствующего линейного преобразования.

. 

.

.

.

.  

.

.

.  

В задачах 25 – 31 ортогональным преобразованием приведите к каноническому виду квадратичную форму.

.

.

.  

.

.

.

32. Проиллюстрируйте закон инерции квадратичной формы на примерах:

 из задач 12 и 28;  из задач 16 и 31.

33. Дана квадратичная форма

.

 Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующее преобразования переменных.

 Привести ее к каноническому виду  ортогональным преобразованием.

 Проиллюстрируйте закон инерции квадратичной формы на примерах преобразований, разобранных в п.  и .

В задачах 34 – 40  запишите канонический вид квадратичной формы и найдите ортогональные преобразование, приводящее квадратичную форму к этому  виду (в зависимости от избранного способа решения ответы могут оказаться различными):

.

;

.

.

.

.

.

В задачах 41– 45 исследовать знакоопределенность квадратичной формы:

.

.   

.

.  

.

.