Собственные векторы линейного оператора Исполнитель

Собственные векторы линейного оператора

О задачах параграфа. В настоящем параграфе рассматриваются задачи, которые относятся в основном к следующим вопросам:

1. Определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

2. Утверждение о линейной независимости собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям, и следствия из него.

3. Операторы и матрицы простой структуры.

В задачах 1 – 16 найдите собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:{spoiler=Подробнее}

.                                 .  

.                             . 

;                  

.                   .  

.                       . 

.              .      

.                 .   

.                      .           

В задачах 17 – 20 выяснить, можно ли  матрицу  линейного оператора  -мерного линейного пространства  привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и если можно, то найти этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу:

.                           .

;                          .          

21. Найдите диагональную матрицу, подобную матрице

.

22. докажите, что все собственные значения квадратной матрицы  отличны от нуля тогда и только, когда матрица обратима.

23. Линейный оператор  пространства   задано невырожденной матрицей

.

Найдите собственные значения оператора .

24. Доказать, что оператор проектирования  и нулевой оператор имеют простую структуру.

25. Линейный оператор , действующий в -мерном линейном пространстве ,  имеет  различных собственных значений. Доказать, что оператор , перестановочный с , является оператором простой структуры.

26. Согласно определению для матрицы  простой структуры существует невырожденная матрица  такая что,  есть диагональная матрица. Доказать, что диагональные элементы матрицы суть собственные значения, а столбцы матрицы  - собственные векторы матрицы . Наоборот, невырожденная матрица , составленная (по столбцам) из собственных векторов матрицы , трансформирует эту матрицу к диагональной.

27. Доказать, что если матрица  имеет простую структуру, то это же верно по отношении транспонированной матрицы .

Для каждой из матриц в задачах 28 – 33 выяснить, имеет ли эта матрица простую структуру. В случае положительного ответа найти матрицу, трансформирующую данную к диагональному виду, и указать этот вид.

.                           .

.                           .

.                           .

{/spoilers}