Предмет и основные задачи математической статистики. Выборка Исполнитель

Предмет и основные задачи математической статистики. Выборка

План:

1. Задачи математической статистики.
2. Генеральная и выборочная совокупности.
3. Типы выборок, способы отбора.

Основная цель при применении математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов. Эти статистические выводы относятся не к отдельным испытаниям, а представляют собой утверждения об общих характеристиках этого явления (вероятностях, законах распределения и их параметрах, математических ожиданиях и т.п.) в предположении постоянства условий, порождающих исследуемое явление.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования, таких, как:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Итак, предметом математической статистики является создание методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель — оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным.

Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, характеризующего эти объекты, то естественным является проведение сплошного обследования, т.е. обследование каждого из объектов совокупности относительно этого признака. На практике, однако, проведение сплошного обследования по тем или иным причинам часто бывает невозможным. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Например, если все студенты Налоговой академии — это генеральная совокупность, то студенты какой-либо группы являются выборкой.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности , а объем выборки .

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В зависимости от этого выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно  его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности в предположении, что все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

{spoiler=Подробнее}

На практике применяются различные способы отбора. Существует отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, например, простой случайный бесповторный отбор и простой случайный повторный отбор, а также применяется отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).

Простым случайным называется такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Если извлеченные объекты возвращаются в генеральную совокупность для участия в последующем отборе, то такой отбор будет простым случайным повторным, в противном случае — простым случайным бесповторным. Например, если требуется определить среднемесячную зарплату по региону, то применяется простой случайный бесповторный отбор, так как зарплата одного и того же человека учитывается только один раз. Если же требуется определить половозрастной, социальный, образовательный состав различных комиссий в каком-либо районе, то отбор является простым случайным повторным, так как один и тот же работник может участвовать в различных комиссиях, и, следовательно, попасть в выборку несколько раз.

Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляются на нескольких станках, то отбор производится не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности.

Механическим называется отбор, при котором генеральная совкупность механически делится на столько примерно одинаковых по размеру групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирается объект с одним и тем же номером. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирается каждая пятая деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирается каждая двадцатая деталь и т.д. Иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.

Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергается сплошному обследованию продукция только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Какие задачи стоят перед математической статистикой?
2. Какова цель применения математической статистики и в чем ее предмет?
3. Что такое выборочная совокупность (выборка), генеральная совокупность, объем совокупности?
4. Что называется повторной выборкой, бесповторной выборкой и репрезентативной выборкой?
5. Что представляет собой простой случайный отбор и типический отбор?
6. Что представляет собой механический отбор и серийный отбор?

Опорные слова:

Математическая статистика, оценка, проверка статистических гипотез, сбор и обработка статистических данных, выборочная совокупность, выборка, генеральная совокупность, объем совокупности, повторная выборка, бесповторная выборка, репрезентативная выборка, простой случайный бесповторный отбор, простой случайный повторный отбор, типический отбор, механический отбор, серийный отбор, комбинированный отбор.{/spoilers}