Matn

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

План

1. Постановка задачи идентификации.

Задачей идентификации является определение оператора F₀ объекта, т.е. построения такого оператора модели F, которой был определенном смысле близок к оператора объекта F₀ т.е.

F»F₀ (1)

(Заметим, что указанная «близость» весьма относительно, так как оператора F₀ и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F₀ мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х , т.е. по выходом объекта Y(t)=F₀[X, E(t)] и модели Y^M=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:

, (2^’)

где векторов выхода модели.

В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки ρ. Это скалярная функция двух векторных аргументов – выходов объекта и модели:

, (3)

которая обладает следующими свойствами:

не отрицательна для любых Y(t) и Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t)) ≥ 0

равно нулю при Y(t) ≡ Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t))=0;

непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.

(4)

ρ((1-λ)Y₁+λY₂, Y^M) ≤ (1-λ)ρ(Y₁, Y^M)+λρ(Y₂, Y^M)
ρ(Y(1-λ)Y^M₁+λY^M₂) ≤ (1-λ)ρ(Y, Y^M₁)+λρ(Y, Y^M₂)

где 0 ≤ λ ≤ 1.

Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой , соединяющей две любые точки (Y₁, Y^M₁) и (Y₂, Y^M₂), где Y_i , Y^M _i– произвольные векторы . Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.

Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У . Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:

У^М=F(X)

Следовательно модельный оператор F должен быть таким, чтобы:

У^М ~ У

где ~ знак эквивалентности, т.е. выходы модели и объекта при одинаковых входных воздействиях Х должен быть эквивалентны Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, как (3).

Такой мерой в непрерывном случае (объект А=αβγ0) может быть интеграл

Действительно, в соответствии с определениям функции ρ(., .) величина Q выражает степень близости функций Y(t) и Y^M (t) в интервале 0 ≤ t ≤ T. Значение явно зависит от F:

и задача идентификации заключается в ее минимизации путем соответствующего выбора оператора модели F. Если по физическому смыслу задачи важность информации В в различные моменты времени не одинакова, то целесообразно введение переменного веса h(t)>0:

(5)

с естественным нормированием

{spoiler=Подробнее} (6)

Выбор функции h(t) определяется ценностью информации. Например, для стохастического непрерывного объекта (А=αβγ0) при неравноточных наблюдениях, т.е. когда дисперсия ошибки наблюдения выхода зависит определённым образом от времени

,

где f(t) – заданная функция, вес h(t) должен изменяться следующим образом:

где, k – нормирующий член, обеспечивающий выполнение условия (6) . Это означает, что ценность информации обратно пропорционально уровняю дисперсии случайных помех.

Величину Q(F) часто называют невязкой выходов объекта и модели. Эта невязка является функционалом, зависящим от оператора модели F. По своей конструкции эта невязка неотрицательно и равно нулю при , т. е. при совпадение выходов объекта и модели на исследуемом интервале.

Если объект является статическим и непрерывным А=0βγ0 т. е. , F(·) есть функция то невязка (5) принимает вид:

Для дискретного объекта ( ) функционал невязки записывается в очевидной форме:

(7)

а статическим дискретный объект () имеет функционал невязки в виде:

где, - вес информация в i-й момент времени. Если объект стохастический и дискретный () и измерения , например, зашумлены случайной помехой с изменяющейся дисперсией σ²_i(i=1, . . . , N), то вес следует определять как

h_i=k/σ²_i,

где k – нормирующий член.

Таким образом степень несоответствия (степень невязки) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционалов типов (5) и (7), зависящих явно от оператора модели F.

Естественно, процесс идентификации, т. е. процесс определения оператора модели, строит так, чтобы минимизировать указанную невязку, т. е. решать задачи минимизации функционала Q(F) по оператору F:

(8)

Эта символическая запись выражает следующую простую мысль: нужно минимизировать функционал Q(F), варьируя оператором (или в простейшим случае функцией ) F не произвольно , а в некотором определенном классе операторов (или функцией) Ω. Это обозначается с отношение F ÎΩ , т. е. F принадлежит классу Ω, где Ω – заданный класс операторов или функций. Результатом процедуры минимизации является некоторый оператор (или функция) F^* (не обязательно единственно), обладающий свойством:

(9)

т. е. невязка Q^*на этом операторе минимально (точнее, не превышает всех возможных невязок, которые можно получить в классе Ω).

Говоря еще проще, для идентификации в заданном классе надо найти оператор F, минимизирующий функционал невязки Q(F) на этом классе.

Утверждения, что идентификация всегда сводиться к операции отыскания минимума, естественно, преувеличено. Действительно легко представить себе статический объект , который идентифицируется путем решения системы линейных или в общем случае нелинейных уравнений. Однако утверждения о сведении задания идентификации к задаче минимизации имеют общий характер для всех случаев идентификации с любыми классами допустимых операторов и функций .

Таким образом, использование процедуры минимизация для решение задачи идентификации объектов является принципиальным и важным обстоятельством, свойственным обычно решению сложных задач идентификации.

2. Трудности идентификации

Отметим две трудности постановки и решения задачи идентификации.

Первая трудность заключается в определении класса оператора Ω, в котором ищется это решение. Преодоление этой трудности едва ли в настоящая время возможно формальным образом.

Действительно, на стадии определение класса Ω должна быт использована априорная информации об объекте как предмета идентификации для целей управления. Этот этап крайне трудно формализуем и нуждается в эвратических решениях. Пока такие решения может принимать только человек.

Для принятия решения о классе Ω необходимо учесть следующее:

структур объекта управления ;
механизм работы объекта ;
цель управления ;
алгоритм управления.

Последние два пункта связывают класс Ω с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.

Вторая трудность, которую нужно преодолевать при идентификации, заключается в решении поставленной задачи минимизации (8) с наименьшим ущербом для потребителя . дело в том, что процесс решения всякий задачи связан с определенными потерями ( времени, средств, оборудование, энергии и т. д. ). Это обстоятельство накладывает определенные ограничение на выбор алгоритма идентификации.

Действительно, это алгоритм должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. Например, задачи идентификации должна быть решена за минимальное время или затраты средств на ее решение должны быть минимальные и т. д.

Как видно, всегда должен быть определен критерий эффективности процесса решение задачи идентификации. Чаше всего это будет ущерб, наносимый в процессе решение задачи идентификации, т. е. потери на идентификацию. Очевидно, что эти потери зависят от сложности задачи (8), необходимого объема экспериментальных данных и способа решения задачи, т. е. от алгоритма минимизации функционала Q(F).

Обозначим через А – алгоритм решения задачи идентификации (9), а I – потери на идентификацию, которые представляют собой функционал, зависящий от алгоритма А. Очевидно, что алгоритм следует выбирать таким, чтобы потери на идентификацию I были минимальны. Отсюда очевидным образом следует задача определения алгоритма как задача минимизации:

(10)

где I{B, A} – потери на идентификацию, т. е. на решение задачи B=[Q((F)à min_F_Î_Ω] с помощью алгоритма А. Этот функционал должен быть задан. К примеру это может быть временно или стоимость решения задачи идентификации, сложность ее программирования, сложность применяемой при этой операторе, ее амортизация в процессе работе и т.д.

Задача (10) формулируется следующим образом: нужно в классе Ξ найти алгоритме идентификации А*, которой минимизирует потери на идентификацию I заданного объекта. Такой алгоритм А* естественно называть оптимальном в указанном смысле. Класс Ξ алгоритмов идентификации при этом должен быть задан. Если множество Ξ состоит из конечного и не слишком большого числа алгоритмов т. е.

Ξ

Заметим сразу, что, как правило, для идентификации выбирается не оптимальный алгоритм А*, а некоторый рациональный алгоритм Ã*, который обеспечивает решения задачи при допустимых потерях на идентификацию. Пусть I – допустимые потери. Тогда задача отыскание рационального алгоритма сводится к следующей:

(11)

Любой алгоритм из множества Ξ, удовлетворяющий этому неравенству, следует считать рациональным.

Таким образом, вторая трудность решение задачи идентификации сводиться к отысканию алгоритма решения этой задачи. При этом искомый алгоритм не может быть любым и должен удовлетворять определенным требованиям – оптимальности (10) или рациональности (11). Не последнюю роль здесь играет задание класса алгоритмов идентификации Ξ. процесс определение класса Ξ является эвристическим и пока доступным лишь человеку.

Контрольные вопросы