Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма при помощи планов скоростей и ускорений Исполнитель

Кинематический анализ кривошипно-ползунного  механизма при помощи планов скоростей и ускорений

{spoiler=Далее}

Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма при помощи планов скоростей и ускорений

Определение скоростей

Исходными данными задачи являются геометрические параметры механизма – кинематическая схема в масштабе m_l(рис. 3.8),  и его входной кинематический параметр – постоянная угловая скорость кривошипа w₁. Линейная скорость точки В кривошипа может быть найдена по известной формуле

                                   (3.2)

Вектор этой скорости, изображенный в произвольном масштабе скоростей, является исходным для построения плана скоростей. Масштаб скоростей:

                                   (3.3)

где: v – действительная линейная скорость в м/с;

 – изображение вектора этой скорости в мм.

      Для упрощения построений и вычислений удобно этот масштаб выбирать не произвольным, а таким, чтобы изображение вектора скорости точки В кривошипа было равно изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, чтобы _В = . Тогда, с учетом (3.2), масштаб скоростей:

С учетом (3.1) получим:

                               (3.4)

Так как в данном случае изображение вектора скорости точки вращающегося звена равно изображению радиус-вектора расположения этой точки на звене, то такой масштаб скоростей называется масштабом начального звена или для нашего случая – масштабом кривошипа.

         Будем строить план скоростей в указанном масштабе (рис. 3.2). Сначала из полюса  p проводим вектор скорости точки В кривошипа в сторону, соответствующую направлению его угловой скорости. Этот вектор по вышеуказанному условию будет равен и перпендикулярен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, ^. (Эти и последующие действия при построении плана скоростей приведены в виде примечаний под планом скоростей на рис. 3.2).

Переходим к шатуну. Шатун совершает сложное движение в плоскости, то есть, его  движение состоит из  переносного поступательного со скоростью точки В и относительного вращательного вокруг точки В. Чтобы определить скорость точки С шатуна, надо решить векторное уравнение:

                                 (3.5)

Точка С принадлежит не только шатуну, но и ползуну, и скорости их одинаковы. Ползун совершает поступательное движение вдоль направляющих, значит, линия действия скорости точки С в нашем случае горизонтальна. Так как эта скорость абсолютна, то горизонталь проводим через полюс р. Относительная скорость v_CBперпендикулярна шатуну, так как в относительном движении он совершает поворот вокруг точки В. Поэтому, выполняя действие графического сложения по векторному уравнению (3.5), через точку b плана скоростей проводим перпендикуляр к шатуну. В пересечении этих двух линий и будет находиться искомая точка с плана скоростей. Таким образом, –  это вектор абсолютной скорости точки С, а  есть вектор относительной скорости точки С относительно точки В.

В отношение точкиSможно сказать, что отрезки звена и относительной скорости пропорциональны. То есть, если точка S расположена посередине шатуна ВС, то на плане скоростей точка s будет находиться посередине между точками b и с:   – вектор абсолютной скорости точки S.

         С помощью построенного плана скоростей могут быть определены величины и направления всех скоростей в механизме, то есть, скоростей точек и звеньев. Направления скоростей точек видны из плана скоростей, а их величину, согласно формуле (3.4), найдем как произведение длины вектора в мм на масштаб скоростей. Например, скорость точки С (или скорость ползуна):

 (м/с)

Теперь найдем угловую скорость шатуна. Шатун совершает сложное движение в плоскости, но в каждый момент времени можно рассматривать его движение, как движение поворота вокруг мгновенного центра вращения в абсолютном движении или вокруг точки Вв относительном движении с одной и той же мгновенной угловой скоростью.

^||

^ || ||^

||

Рис. 3.8.

Эта скорость определяется при помощи схемы механизма и  плана скоростей, как частное от деления относительной скорости точки В шатуна на радиус-вектор расположения этой точки на шатуне (т.е. на размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на схеме и плане скоростей, получим:

И после сокращения:

  (рад/с)                                     (3.6)

Чтобы определить направление этой скорости, надо мысленно перенести вектор  в точку С схемы механизма и он укажет направление ω₂, в данном случае, против часовой стрелки (рис. 3.8).

Расчет передаточных отношений

         Передаточные отношения – это отношения скоростей звеньев, точек или звеньев и точек. Величины передаточных отношений используются в динамических расчетах, а также для решения некоторых кинематических задач, в основном, в кулачковых и зубчатых механизмах. Передаточное отношение обозначается буквой u с буквенными или цифровыми индексами. Например, u₂₁ – это передаточное отношение от звена 2 к звену 1, или u_S2 – передаточное отношение от точки S к звену 2.

         Будем различать передаточные отношения двух типов: безразмерные и имеющие размерность.

         Безразмерные передаточные отношения. Это отношение угловых скоростей или линейных скоростей. Передаточные отношения стержневого механизма для заданного его положения легко определяются, если есть его схема и план скоростей.

Для рассматриваемого кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.8) найдем передаточное отношение от шатуна к кривошипу (с учетом (3.6)):

Физический смысл такого передаточного отношения следующий: во столько раз одно звено вращается быстрее (или медленнее) другого. Следует помнить, что в следующем положении механизма это передаточное отношение изменится, так как ω₂ станет другим. Таким образом, передаточное отношение в стержневом механизме имеет только расчетный смысл (используется для динамических расчетов). Практический смысл оно имеет для механизмов передачи вращательного движения, в частности, для зубчатых механизмов, где скорости звеньев постоянны и передаточное отношение неизменно (см. лекции о зубчатых механизмах).

         Передаточные отношения, имеющие размерность. Это отношения скорости точки звена (или ползуна) к скорости звена, или наоборот – отношение скорости звена к скорости точки звена (или ползуна).

         Определим для нашего механизма передаточное отношение от ползуна к кривошипу:

  (м)

Физический смысл этого передаточного отношения такой: на столько метров переместится ползун при повороте кривошипа на один радиан. Так как в следующей позиции механизма, то есть, в следующее мгновение, это передаточное отношение изменится, то его величина имеет только расчетный смысл для данной позиции. Практический смысл подобное передаточное отношение  имеет для механизмов «шестерня-рейка» и «винт-гайка», где его величина может оставаться неизменной при работе механизма.

Определение ускорений

         Исходными данными для определения ускорений являются кинематическая схема механизма и план скоростей (рис. 3.8).

Так как угловая скорость кривошипа постоянна, то каждая его точка имеет нормальное (центростремительное) ускорение, величина которого определится по формуле:

                                   (3.7)

Вектор этого ускорения, изображенный в произвольном масштабе ускорений, является исходным для построения плана ускорений. Масштаб ускорений:

                            (3.8)

где: а – действительное линейное ускорение в м/с ²;

 – изображение вектора этого ускорения в мм.

         Подобно тому, как это было сделано при построении плана скоростей, для упрощения построений и вычислений удобно этот масштаб выбирать не произвольным, а таким, чтобы изображение вектора ускорения точки В кривошипа было равно изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, чтобы   = . Тогда, с учетом (3.7), масштаб ускорений:

С учетом (4.1) получим:

                          (3.9)

Так как в данном случае изображение вектора нормального ускорения точки вращающегося звена равно изображению радиус-вектора расположения этой точки на звене, то такой масштаб скоростей называется масштабом начального звена или для нашего случая – масштабом кривошипа.

Будем строить план ускорений в указанном масштабе (рис. 3.8). Сначала из полюса π проводим вектор нормального ускорения точки В кривошипа, которое направлено к центру его вращения, то есть, от точки В к точке А. По вышеуказанному условию этот вектор будет равен и параллелен изображению кривошипа на схеме механизма, то есть, ||. (Эти и последующие действия при построении плана ускорений приведены в виде примечаний под планом ускорений на рис. 3.8). Переходим к шатуну. Шатун совершает сложное движение в плоскости, то есть, его  движение состоит из  переносного поступательного и относительного вращательного вокруг точки В. Значит, ускорение точки С относительно точки В шатуна состоит из относительного нормального и относительного тангенциального. Чтобы определить ускорение точки С шатуна, надо решить векторное уравнение:

Точка С принадлежит не только шатуну, но и ползуну, и ускорения их одина­ковы. Ползун совершает поступательное движение вдоль направляющих, значит, линия действия ускорения точки С в нашем случае горизонтальна. Так как это ускорение абсолютно, то горизонталь проводим через точку π плана ускорений. Нормальное ускорение точки С шатуна относительно точки В шатуна может быть определено, так как известна его угловая скорость в относительном движе­нии вокруг точки В. Определим сразу изображение этого ускорения, то есть, длину того вектора, который следует показать на плане ускорений. Выполняя действие графического сложения, согласно векторному уравнению, этот вектор надо отложить из конца вектора ускорения точки В, то есть, от точки b параллельно шатуну в направлении от точки С к точке В – к центру относительного вращения ( на рис. 3.8). Длину вектора с учетом (3.6) найдем так:

После сокращения получим окончательно:

 (мм)                                (3.10)

Линию действия тангенциального относительного ускорения проводим, выполняя действие графического сложения, согласно векторному уравнению, из конца вектора  перпендикулярно шатуну. В точке пересечения этой линии с горизонталью линии действия ускорения точки С и находится искомая точка с – конец векторов  (абсолютное ускорение точки С) и  (тангенциальное относительное ускорение точки С). Сумма векторов нормального  и тангенциального  относительных ускорений даст вектор полного относительного ускорения . Что касается ускорения точки S, то аналогично вышесказанному для плана скоростей, точка s на плане ускорений будет расположена посередине отрезка .

         План ускорений показывает направления и пропорции линейных ускорений в механизме. Величины линейных и угловых ускорений находятся из плана ускорений по формулам. Линейные ускорения – с учетом масштаба ускорений. Например, ускорение ползуна:

 (м/с²)

Угловое ускорение шатуна в его относительном движении вокруг точки В найдем как частное от деления тангенциального относительного ускорения точки С на радиус-вектор расположения этой точки на шатуне (размер ВС). Заменяя действительные величины их изображениями на плане ускорений и схеме механизма, получим:

И после сокращения имеем:

 (рад/с)                           (3.11)

Направление углового ускорения шатуна укажет вектор , мысленно перенесенный из плана ускорений в точку С схемы механизма. В данном случае угловое ускорение шатуна направлено против часовой стрелки, так же, как его угловая скорость – это значит, что шатун в данный момент времени движется ускоренно.

         В заключение заметим, что величины ускорений точек и звеньев используются в силовом расчете механизмов для определения сил инерции и силовых инерционных моментов.

{/spoilers}